Lớp bài toán cân bằng đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các bài toán liên quan tối ưu. Vì vậy, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính chất nghiệm của chúng và đã được công bố trên các tạp chí quốc tế có uy tín trong những qua. Tuy nhiên, một số tính chất nghiệm như tính tồn tại nghiệm, sự ổn định nghiệm, tính hội tụ nghiệm và cận sai số cho bài toán cân bằng chưa được khai thác và nghiên cứu triệt để.

Hơn nữa, các ứng dụng về tính tồn tại nghiệm, sự ổn định nghiệm, tính hội tụ nghiệm và cận sai số của bài toán cân bằng cũng đang là vấn đề mở và cần thiết được nghiên cứu hiện nay. Xuất phát từ thực tế trên, ThS. Võ Minh Tâm và nhóm nghiên cứu tại Trường Đại học Đồng Tháp đã thực hiện đề tài: “Tính chất nghiệm của bài toán cân bằng và ứng dụng” từ năm 2019 đến năm 2020.

Đề tài hướng đến thực hiện các mục tiêu sau: thiết lập các kết quả mới hoặc cải tiến và mở rộng các kết quả về tính chất nghiệm như tính tồn tại nghiệm, sự ổn định nghiệm, tính hội tụ nghiệm, cận sai số cho bài toán cân bằng. Xây dựng ví dụ minh họa; và đưa ra một số ứng dụng của tính chất nghiệm của bài toán cân bằng vào việc nghiên cứu tính chất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bù, bài toán tối ưu và bài toán trò chơi đa mục tiêu.

Đề tài đã đạt được các kết quả chính sau đây:

- Thiết lập và chứng minh được các điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán tựa cân bằng véctơ yếu tổng quát, bài toán tựa bất đẳng thức tựa biến phân véctơ tổng quát, bài toán tựa bù véctơ tổng quát và bài toán trò chơi đa mục tiêu tổng quát bằng việc sử dụng định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg.

-  Thiết lập và chứng minh được các tính nửa liên tục trên, nửa liên tục dưới, liên tục và đóng của ánh xạ nghiệm xấp xỉ của bài toán cân bằng véctơ tham số hai mức tổng quát.

- Đề xuất được khái niệm D-hội tụ của một dãy ánh xạ mờ và thiết lập được một số tính chất quan hệ của tính D-hội tụ với tính hội tụ đều của dãy ánh xạ mờ và tính hội tụ liên tục của dãy các hàm hạng của các ánh xạ mờ. Trên cơ sở đó, chúng tôi thiết lập và chứng minh được một kết quả về sự hội tụ nghiệm theo nghĩa Painlevé-Kuratowski của các bài toán tối ưu mờ.

- Sử dụng phương pháp hàm vô hướng hóa phi tuyến, chúng tôi đưa ra được một số kết quả về hàm đánh giá chỉnh hóa và cận sai số cho các lớp bài toán tựa cân bằng véctơ yếu hỗn hợp tổng quát trong môi trường mờ và bài toán tựa bất đẳng thức biến phân véctơ hỗn hợp tách tổng quát.

Đề tài đã thiết lập được các kết quả mới hoặc cải tiến và mở rộng các kết quả về tính chất nghiệm cho bài toán cân bằng và đưa ra được một số ứng dụng. Vì vậy, đề tài là một tài liệu tham khảo về lý thuyết bài toán cân bằng nói riêng và lĩnh vực tối ưu hóa nói chung. Bên cạnh đó, đề tài cũng góp phần nâng cao năng lực nghiên cứu khoa học của chủ nhiệm đề tài, các thành viên tham gia đề tài

Có thể tìm đọc toàn văn Báo cáo kết quả nghiên cứu (mã số 19086/2020) tại Cục Thông tin khoa học và công nghệ quốc gia.

N.P.D (NASATI)